Introducción
Si estamos trabajando en un proyecto de Laravel y usamos Git para el control de versiones, debemos saber unas cosas antes de clonar e intentar correr nuestro proyecto.
Por defecto, el archivo .gitignore no tomará en cuenta la carpeta “vendor” de Laravel, y tampoco el archivo .env (el cual es muy importante). Por ello, al clonar nuestro proyecto (usando git clone https://github.com/usuario/nombre-proyecto) debemos hacer unos pequeños ajustes para correr nuestra app. Aquí los enlistaré.
Nota: este tutorial supone que tenemos instalado Composer globalmente. Si lo deseas, puedes ver cómo instalarlo aquí
Instalar las dependencias usando Composer
Una vez clonado nuestro proyecto, abriremos una terminal y nos situaremos en dicha carpeta. Una vez estando ahí ejecutaremos:
composer install
Automáticamente composer leerá el archivo composer.json y comenzará a instalar todas las dependencias. Así es como se ve:

Una vez que termine podemos seguir con el siguiente paso
Crear el archivo .env
Por defecto, y por razones de seguridad, el archivo .env no es tomado en cuenta en el proyecto (ya que cada contribuidor puede tener diferentes contraseñas que no deberíamos saber) así que tenemos que generar uno por nosotros mismos. Podemos hacerlo desde la terminal (si estamos en Windows) escribiendo:
copy NUL .env
Lo que creará algo así:

También podemos hacerlo con nuestro editor favorito, o incluso con el bloc de notas; el punto es crear el archivo.
Una vez creado, procederemos a editarlo. Pero para ahorrarnos tiempo, también abriremos el archivo .env.example que contiene un ejemplo de las variables. Luce así:

Copiaremos todo el contenido en el archivo creado anteriormente, así:

A éste es el que editaremos. Pondremos nuestras contraseñas, usuarios, rutas, etcétera. Por lo regular sólo se editan las credenciales de las bases de datos:

Cuando terminemos, sólo guardaremos el fichero para proceder con el paso final.
Generar una clave
Laravel necesita una clave única para nuestros proyectos. La generaremos usando el comando:
php artisan key:generate
Esperaremos un momento y se habrá creado nuestra clave:

Y, si miramos nuestro archivo .env, veremos que tiene la clave dentro de él.

Listo; con esto deberíamos poder correr nuestra app sin problemas.
Si quieres una guía más detallada, te invito a consultar cómo montar un proyecto de Laravel existente.